TRAITÉ
de
PHYSIQUE DE LA MUSIQUE

1. Les signaux périodiques

Un signal périodique quelconque se décompose en une somme infinie de ses harmoniques entiers 1, 2, 3, 4,... appelée série harmonique du célèbre mathématicien français Joseph Fourier (Auxerre 1768 - Paris 1830). Le premier harmonique est dit " harmonique fondamental ". La série harmonique d'un signal de fréquence w est :  

 ...

y(t) : Valeur du signal à l'instant t.
w : Fréquence du signal (fréquence de l'harmonique fondamental).
a1 : Amplitude du premier harmonique.
a1 : Phase du premier harmonique.
an : Amplitude du n-ième harmonique.
an : Phase du n-ième harmonique.

Si le signal ne dure qu'un temps T, alors il n'est plus périodique. La série de Fourier peut se construire à partir de tout signal continu défini sur une durée de temps T, mais en prenant comme fréquence de l'harmonique fondamental W = 1/T. C'est à dire une fréquence égale à l'inverse de la durée du signal et qui n'a plus rien à voir avec la fréquence de l'harmonique fondamentale de notre signal périodique permanent initial. Si T est suffisamment grand, W devient très petit, et notre signal initial sera transcrit dans cette série de Fourier comme un harmonique élevé de W. Il apparaît dés lors une incertitude sur la fréquence de ce signal w valant ± W/2 ou ± 1/(2*T).

Le théorème de l'échantillonnage du à C.E.Shannon, ingénieur américain (1916-2001) dit :
Un signal qui ne contient pas de composantes de fréquences supérieures ou égales à une valeur fmax est entièrement déterminé par la suite de ses valeurs à des instants régulièrements espacés de la durée 1/(2*fmax).

Autrement dit, un signal ne contenant pas de fréquence supérieure à fmax peut être échantillonné à la fréquence 2*fmax sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

L'oreille ne perçoit pas les sons de fréquences supérieurs à 20.000 Hz. Nous pouvons donc échantillonner les signaux sonores à 44.100 Hz (un standard communément rencontré). Et utiliser les outils discrets, convolution, transformation de Fourrier, transformation en Z…, décrits dans l'excellent ouvrage de M. Bellanger.

M. Bellanger "Traitement numérique du signal", 7ème édition, Dunod, 2002
P.Destuynder & F.Santi "Analyse et contrôle numérique du signal", Ellipses, 2003

2. Lois physiologiques

2.1. Domaine des fréquences et amplitudes audibles

2.2. Le décibel
Le décibel est une échelle logarithmique du signal : Une augmentation de près de 6 db correspond à une multiplication par 2 du signal (et correspond à une multiplication par 4 de la puissance, la puissance étant proportionnelle au carré du signal).

Le décibel peut être défini de façon absolu par une pression acoustique exprimée en Pascal qui s'exerce sur le tympan, la figure vous en donne un ordre d'idée. Mais, c'est la définition des variations de décibel qui est utilisée :

           
Pe : Puissance d'entrée.
Ps : Puissance de sortie.
Ue : Signale d'entrée.
Us : Signale de sortie.
dB : Variation en décibel.

Le décibel, selon son auteur Alexander Graham Bell, traduit la sensation physiologique du volume sonore : Une augmentation de 10 dB (soit d'un Bel) correspond à un doublement de la sensation sonore. Et une diminution de 10 dB correspond à une division par deux de la sensation sonore.

Pour doubler la sensation sonore, c'est à dire augmenter d'un bel, il faut multiplier par 10 la puissance sonore, ou ce qui revient au même, multiplier par 3,2 le signal sonore.

" En pratique, cela signifie que si un chef d'orchestre veut doubler la sensation sonore, il devra multiplier le nombre de musiciens par 10 " Fred Borzeix

2.3. Loi physiologique fondamentale sur la perception des rapports de fréquence et de l'absence de fréquence absolue.
L'expérience montre que l'impression ressentie à l'audition d'un accord de deux sons ne dépend que du rapport des fréquences de ces deux sons. Par exemple en augmentant la vitesse d'écoulement du temps, les deux sons deviennent plus aiguës, les fréquences des deux sons augmentent proportionnellement, et leur rapport reste constant. Cet accord conserve à l'audition une qualité invariable quel que soit l'accroissement proportionnel des deux fréquences. La nature musicale d'un accord n'est pas changée lorsque on multiplie toutes les fréquences présentes par une même constante quelconque. Autrement dit, la nature musicale d'un accord est invariante par translation dans une échelle logarithmique des fréquences. Une tel translation est appelée transposition. L'oreille est capable de discerner une fréquence absolue mais selon d'autres règles que ceux de l'harmonie musicale. Il n'y a pas de fréquence absolue identifiée par les règles d'harmonie que nous cherchons à découvrir.
" La nature a fait que nous avons une perception logarithmique des fréquences acoustiques c'est-à-dire que nous sommes sensibles au rapport des fréquences entre deux sons et non à leur différence. " Gilles Bannay

H.Bouasse "Bases physiques de la Musique", Gauthier-Villars, 1906 [§5]

2.4. Le timbre et la non perception des phases.
Le timbre d'un son est déterminé par l'amplitude de ses harmoniques, et non par leurs phases. En effet, l'oreille qui est composée de multiples organes résonateurs ne perçoit pas la phase d'un signal sonore (d'après Helmholtz). Elle perçoit bien la phase d'un rythme mais non d'un son. Aussi les règles d'harmonie des rythmes sont de nature différente des règles d'harmonie des sons. La différence entre un rythme et un son, tient dans la présence d'harmoniques puissants et aiguës pour le rythme. De même Lorsque le son est de très basse fréquence, ses qualités musicales deviennent indiscernables de celles des fréquences voisines, sauf pour le cas des instruments qui engendrent de nombreux harmoniques.

2.5 Les harmoniques virtuels.
L'oreille est composé d'organes résonateurs avec un trés fort ammortissement, qui nous permet de distinguer une répétition trés rapide d'un même son. Donc l'oreille est composé d'organes résonateurs non linéaires : Lorsque deux sons purs de fréquences p et q excitent l'oreille, celle-ci engendre tous les harmoniques (d'après Helmholtz) :
Les harmoniques 1 de fréquences : p, q
Les harmoniques 2 de fréquences : 2p, 2q, p+q, p-q
Les harmoniques 3 de fréquences : 3p, 3q, 2p+q, 2q+p, 2p-q, 2q-p
….
Ces harmoniques sont dit virtuels puisque non nécessairement présent dans le son. Lorsque la source est linéaire, c'est à dire que chacun de ses composants se comporte comme un résonateur pur, aucun harmonique combiné n'est créé. Il existe des modulations d'amplitude, appelées battements (de fréquence égale à la différence des fréquences de deux sons). Les battement ne sont pas des harmoniques et n'apparaissent pas dans le spectre des fréquences. Néanmoins si la source ne crée pas les harmoniques correspondants aux battements, l'oreille les crée. Cette perception des battements est de nature différente de la perception des rapports de fréquence. Elle est d'un ordre inférieur, et semble contredire le point §2.3. Or si nous multiplions les deux fréquences par une constante k quelconque, les harmoniques virtuels qui sont créés sont également multipliés par k. La sensation musicale basée sur les rapports croisés des fréquences et de leurs harmoniques est invariante par transposition puisque ces rapports restent constants par transposition.

3. Loi des cordes vibrantes

La fréquence de résonance d'une corde est donnée par la formule suivante :

    
w : Fréquence de résonance de la corde en Hertz
g : Accélération de pesanteur en m/s
P : Poids tenseur en Kg
p : Poids de la corde par mètre en Kg/m
l : Longueur de la corde en mètres

H.Bouasse Bases physiques de la Musique, Gauthier-Villars, 1906 [§4]

4. Déplacement Doppler

Ce déplacement en fréquence aussi appelé, effet Doppler, porte le nom de son inventeur, le physicien autrichien Johann Christian Doppler (Salzbourg, 1803 - Venise, 1853).

Si la source du son se déplace en se rapprochant ou en s'éloignant de l'auditeur fixe, avec une vitesse V, celui-ci perçoit le son avec une fréquence respectivement plus haute ou plus basse. La fréquence perçue est :

w' : Fréquence du son réceptionné par l'auditeur.
w : Fréquence du son émit par la source.
V : Vitesse de rapprochement de la source sonore vers l'auditeur fixe.
c : Vitesse du son (dans l'air = 340 m/s, dans l'eau = 4 m/s)

Si c'est l'auditeur qui se déplace en se rapprochant ou en s'éloignant de la source fixe, avec une vitesse V, celui-ci perçoit le son avec une fréquence respectivement plus haute ou plus basse. La fréquence perçue est :

w' : Fréquence du son réceptionné par l'auditeur.
w : Fréquence du son émit par la source.
V : Vitesse de rapprochement de l'auditeur vers la source sonore fixe.
c : Vitesse du son (dans l'air = 340 m/s, dans l'eau = 4 m/s)

Si la vitesse de la source sonore est petite par rapport à la vitesse du son. La première formule devient approximativement identique à la seconde formule, qui devient alors valable pour une vitesse V de rapprochement relatif entre la source et l'auditeur. Dans tous les cas, le déplacement Doppler multiplie toutes les fréquences des sons émis par la source, par une même constantes approximativement égale à (1+V/c). Les qualités des accords entres sons ne seront donc pas affectée.

Berkeley mécanique " cours de physique volume 1" [§10]

5. Les intervalles

Les sons peuvent être définis les uns par rapport aux autres selon leurs rapports de fréquences, et ce rapport de fréquence est appelé intervalle. L'intervalle peut être désigné de trois façons possibles :

• Soit par son facteur multiplicatif k qui est le rapport des fréquences.
• Soit par son vecteur de décomposition [x,y,z,…] si le facteur multiplicatif est de la forme k=.….avec x,y,z entier relatif.
• Soit par son terme additif exprimé souvent en savarts ou en 53 ième d'octave, qui est une différence des logarithmes des fréquences.

Si l'on fixe un son de référence tel que le La2 à 220Hz par exemple. Chaque son peut alors être défini par un facteur multiplicatif de cette fréquence, par l'intervalle entre le La2 et lui-même.

Les intervalles entre sons ont fait l'objet de nombreuses études depuis l'antiquité. Et nous nous référons à la liste des appellations consultables sur le site

Liste française des noms d'intervalles : (Kami Rousseau et Manuel Op de Coul.)

" On appelle seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave, les intervalles entre la première notes de la gamme diatonique et la seconde, la troisième…, la septième note qui suit. L'intervalle est dit juste ou majeur. L'intervalle augmenté est égale à l'intervalle majeur de même nom plus un demi-ton chromatique. L'intervalle mineur est égale à l'intervalle majeur de même nom moins un demi-ton. La tierce et la septième diminuées valent l'intervalle majeur moins un ton. La quarte, la quinte et l'octave diminuées valent l'intervalle majeur moins un demi-ton : on n'emplois pas ici le mot mineur. "

6. Le savart

Le savart est une échelle logarithmique des fréquences du nom de son inventeur, M. Félix Savart, physicien français (Mézières, 1791 - Paris, 1841) (célèbre pour sa loi de Biot & Savart sur le champ magnétique). Comme pour les décibels, ont peut le définir de façons absolu, mais cela n'a pas d'intérêt. C'est l'intervalle en savart qui est utile.

   

w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimé en savart.

En vertu de la loi physiologique fondamentale (voir §2.3), qui affirme que notre perception d'un accord entre deux sons, mesure les rapports de fréquence et non les différences de fréquence, et en vertu d'une loi physiologique plus générale qui montre que la sensation varie comme le logarithme de l'excitation (sensibilité différentielle) : Sensation = k × log(Excitation). Le savart traduit la sensation physiologique de la hauteur sonore : Une augmentation de ~301 savarts correspond à un doublement de la sensation de hauteur du son qui correspond au doublement de la fréquence, et une diminution de ~301 savarts correspond à une division par deux de la sensation de hauteur du son qui correspond à une division par 2 de la fréquence. D'où l'analogie avec la définition du décibel. (sauf que M. Savart n'a pas normé son unité, et a choisi une échelle logarithmique quelconque, le millième de l'intervalle(10). Ce qui fait que le doublement de la hauteur du son correspond à un nombre non entier de savart, 301,03….)

L'intervalle(2), appelé octave, qui consiste à multiplier la fréquence par 2, vaut approximativement 301 savarts. Et l'intervalle(3/2), appelé quinte, qui consiste à multiplier la fréquence par 3/2, vaut approximativement 176 savarts. Sachez qu'un ½ savart est "considéré" comme indiscernable à l'oreille (ce qui n'est pas exacte à cause des battements).

Si un auditeur s'approche de la source sonore en marchant à 1 m.s-1. A cause du déplacement Doppler, les sons perçus sont décalés de 1,3 savarts (soit à peu près d'un quart de comma).

Le savart entier est une échelle égale ou dite tempéré des sons correspondant à une division de l'Intervalle(10) en 1000 unités. En changeant la constante ou bien en changeant la base du logarithme, on obtient toutes les échelles égales :

w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
B : Intervalle de base.
N : nombre d'unités par intervalle B.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimé en Nième d' intervalle(B).

Une autre unité que nous utiliserons est le 53ième d'octave. Elle correspond à la division d'une octave en 53 sons d'intervalle égale. (B=2, N=53).

7. Principe d'équivalence des sons à l'octave près.

L 'effet musical d'un accord entre deux sons n'est pas changé notablement lorsque l'un des sons est déplacé d'une ou plusieurs octave au-dessous ou au dessus : La nature musicale d'un intervalle ne change pas beaucoup si on l'augmente ou le diminue, en multipliant ou divisant son facteur multiplicatif par 2^n (c'est à dire en lui ajoutant ou soustrayant approximativement 301*n savarts) : Les sons dont les fréquences sont dans les rapports w, 2w, 4w, 8w, 16w…, 2^n w sont musicalement équivalents.

Si nous adoptons ce principe, chaque son peut être ramené en le déplaçant d'un nombre d'octave voulu, dans une octave donnée. Il résulte que tous les intervalles peuvent être ramenés dans un intervalle compris entre l'intervalle(1) de zéro savart et l'intervalle(2) de ~301 savarts, par modulo l'octave, c'est à dire modulo ~301 savarts.

H.Bouasse Bases physiques de la Musique, Gauthier-Villars, 1906 [§8]

8. Les intervalles de Pythagore

Une première approche consiste à construire tous les intervalles engendrés par l'intervalle(2) et l'intervalle(3). Ils sont de la forme intervalle() avec x et y entier relatif. Et à ne s'intéresser qu'à ceux compris entre l'intervalle(1) et l'intervalle(2).

Une octave est l'intervalle entre la fréquence de base qui est l'harmonique1, et l'harmonique2. L'harmonique2 est l'un des plus fort harmonique pour la plus part des timbres. Deux sons séparés par une octave ont une affinité très grande, le plus aiguë étant généralement partie constituante de l'autre.

Une quinte est l'intervalle entre l'harmonique3 et l'harmonique2.

Un ton est l'intervalle entre l'harmonique 8 et l'harmonique 9.

Voici la table des intervalles() faite par Pythagore :

Gamme de Mercator à 53 degrés

Les combinaisons d'intervalles s'obtiennent facilement grâce au vecteur [x,y] ou à leur évaluation en savarts ou en 53 ième d'octave. Par exemple, le limma (qui correspond au demi-ton diatonique) ce combine avec l'apotome (qui correspond au demi-ton chromatique ) pour donner le ton majeur :

Nom :                   1 ton majeur   =   1 limma       +   1 apotome
Vecteur :                  1 * [-3,2]   =   1 * [8,-5]      +   1 * [-11,7]
Intervale :                       (9/8)^1 =   (256/243)^1 *   (2187/2048)^1
Savart :                       1 * 51,2   =   1 * 22,6       +   1 * 28,5
53ième d'octave :             1 * 9   =   1 * 4            +   1 * 5

Nom :                 1 quinte juste    =   3 ton majeur  +   1 limma
Vecteur :                  1 * [-1,1]    =   3 * [-3,2]      +   1 * [8,-5]
Intervalle :                     (3/2)^1   =   (9/8)^3         *    (256/243)^1
Savart :                     1 * 176,1   =   3 * 51,2       +    1 * 22,6
53ième d'octave :          1 * 31    =   3 * 9            +    1 * 4

9. Les approximations

L'ensemble des intervalles engendrés par l'intervalle(2) et l'intervalle(3) est illimité car il n'existe pas de valeur x, y entière telque =1. Les valeurs qui approchent sensiblement 1 par valeur supérieur sont :

x	y	Intervalle ()	Savarts	Nom de l’intervalle
8	-5	1.05350	22.633	Limma
-19	12	1.01364	5.885	Comma de Pythagore
65	-41	1.01153	4.978	Comma du 41 tons
-84	53	1.00209	0.907	Comma de Mercator
485	-306	1.00102	0.444
-1054	665	1.00004	0.019	gbannay

Si nous prenons le comma de Mercator comme approximation de 1, alors la table des intervalle de Pythagore s'arrête là ou elle est arrêté. Elle comporte 53 notes qui coïncident pratiquement avec la subdivision de l'octave en 53 intervalles égaux. Et constitue la gamme de Mercator à 53 degrés, du nom de celui qui l'a découverte et proposée, le mathématicien et astronome allemand, Nicolaus Mercator (1620-1687).

Et en introduisant l'intervalle(5), les intervalle() qui approchent sensiblement 1 par valeur supérieur sont :

x	y	z	Intervalle ()	Savarts	Nom de l'intervalle
-3	-1	2	1.0417	17.729	Semiton mineur, chroma mineur
-4	4	-1	1.0125	5.395	Comma syntonique
11	-4	-2	1.0114	4.905	Diaschisma, comma mineur
-6	-5	6	1.0047	2.034	Kleisma, semicomma majeur
-15	8	1	1.0011	0.490	Schisma
38	-2	-15	1.0008	0.347
-53	10	16	1.0003	0.143

= 1.0011 est le schisma et vaut 0,490 savarts.

A l'aide de cette dernière approximation, La table précédente devient une table des intervalles() plus simple :

10. Les intervalles de Leibnitz :

Leibniz et la théorie de la musique (Patrice Bailhache Professeur à l'Université de Nantes)

11. Les gammes

On donne le nom de gamme à une subdivision d'un intervalle par une suite de plus petits intervalles. La gamme permet de définir une suite croissante d'intervalles appelés notes. La première note est appelée la tonique. S'il n'y a pas de note choisie pour la tonique, du fait que l'harmonie musicale est invariante par transposition, la gamme est alors définie à une permutation circulaire près de sa subdivision. Nous n'étudierons que des gammes qui subdivisent l'octave.

12. La gamme tempérée à N notes

La gamme tempérée s'obtient en subdivisant l'octave en N notes d'intervalles égaux, soit en des intervalles(2^(1/N)). L'avantage de toute gamme tempérée, est qu'il est possible d'opérer des transpositions d'un nombre quelconque de notes tous en restant dans la gamme. La nature musicale d'un accord étant invariante par transposition (voir §2.3), on peut donc chercher les règles d'harmonies parmis celles qui sont invariantes par transposition.

Après avoir fixé une note zéro comme origine d'un système de coordonnées, les notes peuvent être désigné de trois façons possible :

• Soit par le facteur multiplicatif k de l'intervalle entre la note zéro et la note concerné :

k = 2^(x/N)

• Soit par l'entier x qui désigne l'écart de note entre la note zéro et la note concernée :

x = N*ln(k)/ln(2) = N*h+c

• Soit de la forme c indice h, où c désigne la note dans l'octave, et h désigne l'octave. Les notes de l'octave sont {0,1,2,3,...,N-1}, 00 désigne la note origine (note 0 de l'octave 0). 52 désigne la note 5 de l'octave 2 :

h = x div N, et c = x mod N

L'échelle logarithmique des fréquences dans la base 2, multipliée par N, subdivise l'octave en N notes d'intervalles égaux, d'où l'appellation de nombre d'N ième d'octave (voir §6). Il reste à choisir un nombre pertinent N de notes par octave. On recherche N tel que l'intervalle(3) corresponde le plus proche possible à une des notes de la gamme tempéré à N notes :

13. La gamme pythagoricienne

Les grecs anciens ne considéraient pas les tierces et les sixtes comme consonant mais seulement l'octave, la quinte et la quarte. Ils ont construit leur gamme par des intervalles successifs de quintes, modulo l'octave.

Note ()	Do	Ré	Mi	Fa	Sol	La	Si	Do
x	0	-3	-8	2	-1	-4	-7	1
y	0	2	4	-1	1	3	5	0
Intervalle	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Savart	0	51,15	102,31	124,94	176,09	227,24	278,40	301,03
53ième	0	9,01	18,01	22,00	31,00	40,01	49,02	53,00

http://asso.nordnet.fr/ccsti/concoursiufm02/candidat8/p1.htm

Les 4 premiers harmoniques [1, 2, 3, 4] correspondent pour le Do1 exactement aux notes [Do1, Do2, Sol2, Do3]. Voilà pourquoi le Do engendre le Sol, et qu'il est naturel de construire les notes par quintes successives, les quartes étant des quintes descendante modulo l'octave.

Considérons l'ensemble des intervalles obtenus par combinaisons de quintes et d'octaves. Ils sont de la forme . Si nous souhaitons les ramener dans l'octave, il suffit de poser x = - floor(y*ln(3)/ln(2)). Les intervalles de la forme se caractérisent à l'octave près par l'unique coordonné y qui indique le nombre de quinte. Ces notes forment la ligne des quintes.

Une succession de 6 quintes ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles : [9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 9/8, 256/243] à une permutation circulaire près. C 'est la gamme pythagoricienne. Elle contient deux types d'intervalle, le ton (9/8) et le limma (256/243), que l'on désignent parfois par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 9 et 4.

Si nous tenons compte de la flèche du temps, et fixons la note initiale, alors il existe 7 possibilités de construire la gamme pythagoricienne qui correspondent aux 7 permutations circulaires des subdivisions de l'octave, et qui correspondent à la proportion de quintes et de quartes (ou quintes descendantes) nécessaire pour atteindre les notes de la gamme à partir de la note initiale appelée tonique ou plus simplement qui correspondent à la position de la tonique dans la suite des 6 quintes originelles.

C'est 7 possibilités correspondent aux 7 modes grecs primitifs, que l'on désigne parfois par la première note de leur expression incluse dans la gamme de do majeur pythagoricienne (mode lydien) :

http://mathemusic.free.fr/Mathemusic.pdf (Carine PASCAL, Nathalie TOMAS)

Seul deux modes sont couramment pratiqués : la gamme de do majeur qui est le mode lydien, et la gamme de la mineur qui est le mode hypodorien.

La note initiale s'appel la tonique et est choisie arbitrairement. Elle n'est pas forcement jouer en premier. Ils se peut même qu'elle ne soit pas jouée du tout. La flèche du temps invoquée précédemment n'est pas nécessaire. Il suffit d'invoquer une relation de préséance logique : la tonique est la note d'origine à partir de la quel ont construit les autres notes et qui se définie comme première note de la gamme, et non d'invoquer une relation de préséance temporelle : La détermination de la tonique nous oblige à choisir un des 7 modes correspondant aux 7 permutations circulaires possibles des subdivisions de l'octave.

Le raisonnement s'applique pour une gamme constituée d'un nombre quelconque de quintes. Dans le cas d'une succession de N quintes, il existe N+1 modes. Le premier mode correspond à N quintes (la tonique est placé au début de la première quinte), le second mode correspond à 1 quarte et N-1 quintes (la tonique est placé au début de la seconde quinte), le troisième mode correspond à 2 quartes et N-2 quintes, et ainsi de suite. Voici le tableau des gammes avec des exemples transposés de tel sorte qu'ils soient inclus dans la gamme de do majeur pythagoricien [do, ré, mi, fa, sol, la, si] définie au début :

Considérons la successions des 6 quintes originelles qui ont servi à la construction de la gamme de do majeur pythagoricien : fa, do, sol, ré, la, mi, si. ajoutons encore une quinte. Nous trouvons une note proche du fa, que nous allons arbitrairement appeler fa#, et répéter l'opération de même pour les notes suivantes, et ainsi de suite. Toutes les notes s'alignent sur la ligne des quintes :